高中数学
思想方法
公式 · 构造 · 数形结合
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公式法
公式法是指应用数学公式解决问题的方法，它包含对公式的直接应用（正向）、逆向应用、变形使用以及拓展构造使用等。
配方法
配方与展开是代数变形的两种基本形式。配方法是指对代数式进行定向变形（常常配成“完全平方”），通过恰当的配凑，使问题明了化、简单化，从而解决数学计算问题的方法。其
换元法
换元法是指在代数运算过程中，引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，求出结果后再返回去求原变量的解题方法。通过引入新元重构变量关系，是代数变形中非常重要的技巧
消元法
消元法是由一些未知数间的等量关系，通过有限次的恒等变形，消去其中某些未知数，从而得到另一些相关未知数间的等量关系的数学方法。在部分含有多变量表达式的问题中，若提
定义法
所谓定义法，是指直接用数学定义解题。用定义法解题，是最直接的方法，也是最基本的方法。事实上，一切解题的方法最终都能归结到定义法。在实际的解题中，学生尽管知道定义
判别式法
判别式法是根据已知或所构造的一元二次方程根的存在性，通过判断判别式 $\Delta \ge 0$（或 $\Delta < 0$）来求解相关参数、最值或值域等数学
分析法
在证明某些数学题目时，如果从题设条件出发难以发现思维的路径和处理的方法，可以从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判定一个明显
综合法
综合法（又叫顺推证法），是指从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证，最终得出命题成立的数学证明与推导方法。
比较法
比较法是解决数值大小比较或证明不等关系的基本数学方法。在高中阶段，它主要包括三种基本操作形式：作差比较法、作商比较法和单调性比较法。通过特定变形，将两个数或式的
构造法
构造法是根据问题的结构及隐含条件，构造出一种与原问题紧密相关的数学对象（如函数、图形、方程、向量或数列等），从而使原问题转化并最终得到解决的数学解题方法。
基本量法
在数学运算过程中，往往需要根据题目给的条件，设定未知量，分析已知量和未知量之间的关系，列出相应等式求解。在这些已知量、未知量中，选定其中的一些核心量，其他的量就
对称法
对称法的运用主要包括发现对称与构造对称。对称方式主要包括关于点、线、面对称，对称形式包括镜面对称、中心对称等。在解题过程中，它是指通过识别数学对象（如图形、函数
增量法
对于两个实数 $a$ 和 $b$，若 $a>b$，则可令 $a=b+t$（其中 $t>0$），$t$ 称为**和式增量**；若 $a>b>0$，则可令 $a=b
导数法
导数法，是指利用导数的定义和运算解决函数问题的方法，同时也包括处理那些可以化归到函数问题的不等式证明、立体几何、解析几何等问题。求曲线切线、讨论函数单调性、求最
枚举法
枚举法起源于原始的计数方法，即“数数”。它是指在进行归纳推理时，逐个考察某类事情的所有可能情况，得出一般且可靠的结论的一种数学方法。通常来说，将问题的所有可能的
向量法
向量法，是指对平面或立体几何中的边赋予方向，利用向量运算律、向量的性质及平面（或空间）向量基本定理解决一些简单几何问题的方法；同时，它也指将函数、不等式等代数结
面积法
面积法，就是在图形的变换过程中，以同一面积的不同表示为基础，以面积相等或比例关系为纽带，实现图形之间或几何与代数之间相互转化的方法。
待定系数法
待定系数法是利用方程思想，借助代数式恒等求对应系数的方法。一般地，先设出含参数的解析式（或关系结构式），再根据已知条件或对应项（位置）的系数相等，建立关于参数的
排除法
排除法指的是在所有的可能结果中，把一切错误的结果排除掉，剩余的只能是正确的结果的一种逻辑思维方法。
正难则反
正难则反是数学解题的重要方法及技巧。当一些问题正面解决比较繁杂，或需要考虑的因素多，或解题思路不明朗时，可以考虑其对立面，即从问题的反面出发破解问题的方法。
裂项法
裂项法是解决数列求和问题常用的方法，通过分解数列的项，重新组合消去一些项，最终达到化简求和的目的。它是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。
赋值法
赋值法是指给关于某些变量的一般关系式赋予恰当的数值或代数式后，通过运算推理，最后得出结论的一种解题方法。其逻辑基础是“由一般到特殊”，即：若对任意的 $x \i
估算法
估算法是指在解答数学问题时，不进行精确的纯代数推导，而是通过适当放大和缩小部分数据，或通过极端值（或极端位置）进行一定的推理，估算出答案的大概范围或近似值的一种
配凑法
配凑法是指在解答数学问题的过程中，利用恒等变形的方式巧妙地配凑出适当的数、式或图形的方法。它体现了深度的化归思想，其本质是在保持代数式或等式等价的前提下，人为改
变更主元
变更主元（又称主元法），是指在一个多元数学问题中，打破常规思维，以其中某一个字母（变量或参数）作为新的主元，将问题化归为关于该新主元的函数、方程或不等式等问题的
数形结合
数与形是数学中两个基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，这种利用数与形的联系解决问题的方法称为数形结合。数形结合的应用大致可分为两种情形：一是借助形的几
命题转换
所谓命题转换，就是变换问题，通过一再改变问题的叙述和形式，改变观察和分析问题的角度，使问题呈现出新的面貌，引发新的思考、新的联想，从而使问题获得解答的方法。
整体考虑
整体考虑，就是从整体的视角去思考一个数学问题，通过对局部与整体的对比、分析，发现局部与整体的内在联系，有意识地进行整体处理，从而解决问题的方法。整体考虑通常包括
局部处理
整体和局部是同一事物的两个方面。有些数学问题从整体上处理难以解决，就必须先分析研究问题的某一部分（局部），得出初步结论后，再进一步研究，从而使数学问题获得解决。
变量分离法
变量分离法，是将一个方程或不等式中的变量与参数经过适当的变形整合，分离为两个更简单的结构或者几何意义更明显的代数式的方法[1]。
适度放缩
放缩法就是针对目标代数式的结构特征，利用已有不等式的基本性质、函数的单调性及某些代数式的有界性，对目标不等式进行适当放大或缩小的方法。灵活使用放缩法，可以化繁为
均值代换
所谓均值代换，是指利用若干个变量的平均值和一个字母重新定义原来变量之间的关系，从而便于计算的方法。一般地，当 $n$ 个变量 $x_i (i=1,2,\dots
借助数轴
借助数轴，是指对于单变量范围问题，通过画出数轴，将代数问题几何化，利用数形结合的方法来直观解决的一种解题方法。
均值不等式
均值不等式是高中数学中的重要公式，日常解题时通常涉及几何均值、算术均值、平方均值三种均值。多为二维（如 $\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}
柯西不等式
柯西不等式是数学中一个历史悠久、形式优美、结构对称且具有较强应用性的重要不等式。其标准形式为：设 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 与 $y_1,
变角变次
变角变次是解决三角函数问题的重要思想方法。所谓“变角”，即根据问题中的角与已知条件中的角之间的联系，进行角之间的变换，特别要关注两角的和差是否是常见角；所谓“变
“1”的代换
自然数1是人们最早用于计数的单位，数的发展从1开始。对于一些复杂的数学问题，当直接解决有困难时，可尝试根据题目特点，对隐藏的“1”进行合理的数学变形，巧妙利用“
差异分析法
差异分析法，就是通过分析题目的条件与结论中出现的数量特征（如元素的个数、字母系数）、关系特征（如大于、等于）以及位置特征等之间的异同，逐步缩小差异来完成解题的方
边角互化
边角互化是在解与三角形有关的问题时，处理三角形边、角混合条件的一种常用手段。它主要利用逻辑推理，通过正弦定理或余弦定理进行边与角的互相转化，再综合利用三角恒等变
和差代换
对于任意实数 $x,y$，均有 $x=\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{2}$，$y=\frac{x+y}{2}-\frac{x-y}{2}$。
三角代换
所谓三角代换，是指利用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，使题目得以突破的解题方法。其实质是换元思想，体现了“三角”是数学中重要工具的特征。
齐次化
形如 $2x+y$，$4x^2+y^2+xy$，$\frac{x^2-xy}{2xy+y^2}$ 这种各项次数相同的代数式称为齐次式。将非齐次的代数式、方程或不
构造对偶
对偶式是指与原代数式结构对称（或相似、相近）的具有某种对称关系的代数式。构造对偶解题法就是根据题中某个代数式 $A$ 的结构特征，人为地构造出 $A$ 的对偶式
合一变形
在三角恒等变换中，对于形如 $y=a\sin x+b\cos x$ 或分式形如 $y=\frac{a\sin x+b\cos x+c}{d\sin x+e\co
差积互化
差积互化包括和差化积与积化和差。和差化积是将两个同名三角函数值的和差化为另外两个三角函数值的积，以达到变角的目的（如 $\sin\alpha+\sin\beta
基向量法
平面上两个不共线的向量或空间中三个不共面的向量可以确定一组基底，有了它才有了向量空间的基础。基向量法，是指利用平面向量基本定理或空间向量基本定理，将几何图形中的
极化恒等式
对于向量 $a, b$，通过恒等变形可得 $a \cdot b = \frac{1}{4}[(a+b)^2 - (a-b)^2]$，这个式子就叫作极化恒等式。它
等高线
在平面向量中，若 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 是平面内的任意两个不共线向量，平面内的向量 $\o
递推法
所谓递推法，是指通过已知条件，利用特定关系得出中间推论，进而得到结果的一种推理方法。
进退互用
所谓进退互用，是指在利用“化归”解决数学问题的过程中，通过“弱化条件”、“强化目标”或“弱化目标”等手段来破局的方法。当遇到一个复杂或非基本的问题时，可以通过分
不动点
一般地，设函数 $f(x)$ 的定义域为 $I$，如果存在 $x_0 \in I$，使得 $f(x_0)=x_0$，则称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的不
倒序相加法
倒序相加法是数列求和的一种经典方法。记数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，则有 $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a
同除一式
同除一式，是指通过对等式的左右两边或对分式的分子、分母同除以一个非零数（或式）的操作，可达到简化代数式结构、消元等目的，最终将原问题转化为更简便易求解的新问题的
倒置变换
所谓倒置变换，就是通过对代数式、方程或不等式的两边同时取倒数，从而改变原有数学式的代数结构，以降低问题难度、简化解题过程，使较复杂的数学问题迎刃而解的方法。
两边取对数
所谓“两边取对数”，就是把不含对数符号的等式（或不等式）转化为含有对数符号的等式（或不等式），以此来简化运算结构的方法。其数学依据为：设 $x, y, a$ 均
平方开方
平方开方法是利用恒等式 $|x|^2=x^2$ 以及 $(\sqrt{x})^2=x$ （当 $x \ge 0$ 时）对某些具有特定结构的代数式进行变形整理，从
累差累商
累差累商包含两种基本方法：累差迭加法（简称累加法）和累商迭乘法（简称累乘法）。
分组求和
分组求和法是指当数列本身不是特殊数列（如等差数列、等比数列或其他常见数列）时，通过恰当的分组，将原数列转化为多个可求和的基本数列，分别求和后再进行相加减，从而求
增项减项
所谓增项减项，是指在一些数学问题的处理过程中，通过增加或者减少一些项（或式子），使得原来复杂、陌生的题设式变为已知或者熟悉的关系式。这是一种巧妙的代数恒等变形或
数学归纳法
数学归纳法是证明与正整数 $n$ 有关的数学命题的非常实用的研究工具，是一种特殊的数学演绎证明方法。
错位相减
如果数列的通项由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法来求此数列的前 $n$ 项和，这也是等比数列前 $n$ 项和公式的推导方法。
解析法
所谓解析法，是指应用解析式求解数学模型的方法[1]。在几何问题中，我们常可以应用解析法，通过建立平面（或空间）直角坐标系，将几何问题彻底转化为代数问题，再通过代
点差法
所谓点差法，是指当直线与圆锥曲线相交时，不妨设两个交点为 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$，将这两个点分别代入圆锥曲线的方程，并将所得
设而不求
设而不求，就是在运算求解时设一些辅助元（参数），在解题过程中巧妙地消去辅助元（参数），而不必求出其具体的值的方法。这种方法可以优化解题过程，使得解题更便捷。
参数法
当直接寻找变量 $x, y$ 间的关系显得困难时，如能恰当地引入一个新的变量 $t$（称其为参数），建立起变量 $x, y$ 与参数 $t$ 的直接关系，就能间
插空法
插空法，是指在解决排列组合问题时，专门用来处理某些元素要求“不相邻”的一种思想方法。根据不相邻元素的种类，主要分为“一种元素不相邻”和“多种元素同时不相邻”两类
捆绑法
所谓捆绑法，是指在排列组合中解决某几个元素相邻问题时，先把要求相邻的若干元素“捆绑”为一个整体，再与其余元素进行全排列，然后“松绑”，单独考虑这个整体内部各元素
隔板法
隔板法是解决组合问题中分配相同元素的一种方法[1]。具体而言，对于“把 $N$ 个相同的元素分成 $n$（$n \le N$）份，每份至少1个元素，共有几种不同
等体积法
所谓等体积法，是指利用不同的底面积和相应的高来求同一个几何体的体积的方法。利用体积相等，也可以在已知体积（或通过其他途径算出体积）的情况下，反向求出某一底面所对
补形法
所谓补形法，是指在解决立体几何问题的过程中，将非特殊的几何体（如不规则的三棱锥、四棱锥、台体等）补全为特殊的几何体（如长方体、正方体、直三棱柱等），并进一步在特
辅助平面法
辅助平面法是指在用综合法解决立体几何问题时，通过有目的地作（或寻找）一个辅助平面，使得空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系更加明确，从而将复杂的空
模型法
模型法在高中数学中分为两个基本层面：其一是在实际问题中，通过分析数据、观察特征，进行抽象、构建，得到函数、数列、排列组合或统计与概率的数学模型，转而用数学的方法
高中数理化思想方法导引
由 浙江大学出版社 出版的理科方法工具书系列。 数学、物理、化学三册，共 216 种解题思想方法，由两百余位一线名师联合编撰。
全书以字典式收录方法 —— 每法含方法定义、核心思想、识别信号、标准步骤、典型例题与常见误区， 可随查随用，亦可通读成体系。